半线性方程单周期解的先验估计

存在一个指数递减函数 $f$，使得 $[0,2\pi]\times \R^{N-1}$ 上 $-\Delta u +u-u^p=0$ 的任意单 $2\pi$-周期正解 $u$ 满足 $u(x_1,x')\leq f(|x'|)$。我们证明，在具有相同周期和相同函数 $f$ 的情况下，$[0,2\pi]\times \R^{N-1}$ 上 $-\ep^2\Delta u-u+u^p=0$ 的任意单周期正解满足 $u(x_1,x')\leq f(|x'| /\ep )$。对于梯度，我们有类似的估计。