非线性几何光学中的脉冲放大

作为我们对波列放大研究的姊妹篇，本文研究了具有脉冲数据的弱稳定半线性双曲边值问题。此处弱稳定性意味着不存在指数增长模，但在双曲区域内的某些边界频率处，所谓的均匀 Lopatinskii 条件失效。由于这种退化，再次出现了放大现象：振幅为 $O(\eps^2)$、波长为 $\eps$ 的出射脉冲产生了振幅为 $O(\eps)$ 的反射脉冲，因此整体解的振幅为 $O(\eps)$。此外，反射脉冲源自一个沿 Lopatinskii 行列式的特征线在边界上传播的辐射脉冲。在本文考虑的 N*N 系统情形下，单个出射脉冲在反射时会产生一族以不同群速度传播的入射脉冲。与波列不同，脉冲之间的相互作用不会产生影响到主导阶剖面的共振。然而，脉冲相互作用确实会影响低阶剖面，因此在误差分析中必须仔细估计这些相互作用。在波列情形中，误差分析通过将周期剖面近似为三角多项式（相当于使用高频截断）来处理小除数问题；而在脉冲情形中，我们将具有非零矩的衰减剖面近似为具有零矩的剖面（低频截断）。与波列情形不同，我们现在能够在描述近似解收敛于精确解的极限中获得收敛速率。