群上随机游动分布的几乎不变性

我们研究随机游动第 $n$ 步所访问的典型点 $Z_n$ 的邻域，该邻域由转移概率接近 $\mu^{*n}(Z_n)$ 的条件确定。若此类邻域包含半径为 $C \sqrt{n}$ 的球，则称该随机游动具有几乎不变的转移概率。我们证明 $\mathbb{Z}$ 与有限群的圈积上的简单随机游动具有几乎不变分布。几乎不变性的一个较弱版本蕴含了 Ozawa 准则关于 $H_{\rm FD}$ 性质的必要条件。我们定义并研究了几乎不变半径，估计了迭代圈积上随机游动的该半径，并证明此半径可渐近严格小于 $n/L(n)$，其中 $L(n)$ 表示随机游动的漂移函数。我们证明 $\mathbb{Z}^2$ 与有限群的圈积上的简单随机游动的个体几乎不变半径渐近严格大于 $n/L(n)$。最后，我们证明存在这样的群，其几乎不变半径小于给定函数但仍无界。我们还讨论了在非几乎不变尺度上转移概率之比的可能极限分布。