$\mathcal{L}^n_+$-半正矩阵与 $\mathcal{L}^n_+$-半正锥的代数与几何性质

给定欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中的真锥 $K$，若存在 $x\in K$ 使得 $Ax\in \text{int}(K)$（$K$ 的拓扑内部），则称方阵 $A$ 为 $K$-半正矩阵。本文旨在研究 $K$-半正矩阵的代数与几何性质，特别关注自对偶真 Lorentz 锥 $\mathcal{L}^n_+=\{x\in \mathbb{R}^n:x_n\geq 0,\sum\limits_{i=1}^{n-1}x_{i}^2\leq x_n^2\}$。更具体地，我们讨论了 $\mathcal{L}^n_+$-半正矩阵的一些必要与其他充分条件。此外，我们给出了对角与正交 $\mathcal{L}^n_+$-半正矩阵的代数刻画。进而，给定方阵 $A$ 与真锥 $K$，我们从极值角度讨论了半正锥 $\mathcal{K}_{A,K}=\{x\in K:~Ax\in K\}$ 与锥 $\mathcal{S}_{A,K}=\{x:Ax\in K\}$ 的几何性质。由于 $\mathcal{L}^n_+$ 为椭球锥，最后我们得到了锥 $\mathcal{K}_{A,\mathcal{L}^n_+}$ 与 $\mathcal{S}_{A,\mathcal{L}^n_+}$ 为椭球锥的结果。