智能体排列问题

有序图对 $(G_A, G_M)$ 的{\em 排列}定义为从 $V(G_A)$ 到 $V(G_M)$ 的函数 $f$，使得对于 $G_M$ 的每个顶点 $c$，$G_A$ 的顶点集 $f^{-1}(c)$ 要么为空集 $\emptyset$（当 $c \not\in f(V(G_A))$ 时），要么诱导 $G_A$ 的一个连通子图，且族 $\{f^{-1}(y) : y \in V(G_M), f^{-1}(y) \neq \emptyset\}$ 构成 $V(G_A)$ 的一个划分。设 $f$ 为 $(G_A, G_M)$ 的一个排列，$pq$ 为 $G_M$ 的一条边，$U$ 为 $f^{-1}(p)$ 的一个子集，使得三个图 $G_A[U]$、$G_A[f^{-1}(p)\setminus U]$ 和 $G_A[f^{-1}(q)\cup U]$ 均连通或为空，且 $\big(f^{-1}(p)\cup f^{-1}(q) \big) \setminus U \neq \emptyset$。从 $p$ 到 $q$ 的 $U$ 的{\em 转移}定义为对 $f$ 的修改 $f^{\prime}$，使得对于每个 $x \notin U$ 有 $f^{\prime}(x):=f(x)$，且对于每个 $u \in U$ 有 $f^{\prime}(u):=q$。如果两个排列 $f$ 和 $g$ 可以通过有限次转移相互变换，则称它们是{\em t-等价}的。如果有序图对 $(G_A, G_M)$ 的任意两个排列都是 t-等价的，则称该图对为{\em 全能}的。在本研究中，我们考虑以下两个判定问题：[{\bf (P1)}] 对于给定有序图对 $(G_A,G_M)$ 的给定排列对 $f$ 和 $g$，判定 $f$ 是否与 $g$ t-等价。[{\bf (P2)}] 对于给定有序图对 $(G_A,G_M)$，判定该图对是否全能。我们给出了一个时间复杂度为 $\Od(|E(G_A)|+(|V(G_M)|+|E(G_A)|)|V(G_A)|)$ 的算法用于解决 {\bf (P1)}，并证明了 {\bf (P2)} 的 $\co\np$-完全性。