半有界域 $(-b,\infty)$（$b: 0 \rightarrow \infty$）上谐振子的仿射量子化

将一个经典系统转化为其量子对应系统通常通过众所周知的正则量子化程序进行。然而，在非笛卡尔域或有界笛卡尔域上，该程序可能存在理论不一致的问题。一种替代方法是仿射量子化（affine quantization, AQ）（Fantoni 和 Klauder, arXiv:2109.13447, Phys. Rev. D {\bf 103}, 076013 (2021)），其得到不同的共轭变量，从而引出更一致的量子化形式体系。为凸显这些问题，我们考察一个看似简单但重要的问题：半有界域 ${\cal D} = (-b,\infty)$ 上的谐振子势。其 AQ 版本对应于（重新标度后的）系统 ${\cal H} = \frac{1}{2}\Big(-\partial_x^2 + \frac{3}{4(x+b)^2} + x^2\Big)$。我们对 $b > 0$ 数值求解这个系统。$b = 0$ 的情形对应于一个精确可解势，其本征能量可以精确确定（通过不依赖波函数的方法），证实了 Gouba 的结果（arXiv:2005.08696, J. High Energy Phys., Gravitation Cosmol. {\bf 7}, 352-365 (2021)）。我们研究了极限 $b \rightarrow \infty$，确认恢复了完整的谐振子问题。所采用的计算方法与 AQ 的底层理论框架一致。具体而言，一种方法是仿射映射不变变分程序，通过矩问题量子化重构得以实现。另一种方法将 boundedness（即 $L^2$）作为显式的量子化判据。两种方法都得到离散态能量的收敛界；从而确认了我们结果的准确性，尤其是在应用于奇异势问题时。