对抗分类：必要条件与几何流

我们利用变分分析的工具研究了一种对抗分类问题，其中对手被赋予以某个距离 $\varepsilon$ 为上限破坏数据输入的能力。特别地，我们描述了在此类对手下最优分类器所满足的必要条件。利用这些必要条件，我们推导出一个几何演化方程，可用于追踪随着 $\varepsilon$ 变化分类边界的改变。该演化方程在一维中可描述为解耦的微分方程组，在更高维中可描述为一种平均曲率型方程。在一维下，并对数据分布作温和假设，我们严格证明可以从 $\varepsilon=0$（即简单的贝叶斯分类器）出发使用初值问题，从而求解出小 $\varepsilon$ 值下对抗问题的全局极小元。在更高维中我们给出了类似结果，尽管其依赖于初值问题正则解的存在性。在证明主要结果的过程中，我们得到了一个具有独立意义的结论，将原始对抗问题与最优传输问题联系起来，且不对类别是否平衡作任何假设。文中还给出了说明这些思想的数值例子。