并非所有参数下都存在容许集

$\mathbb{F}_3^n$ 中的帽集（cap set）是指不包含三个和为 0 的元素的子集。基于 Edel 的构造，Tyrrell 近期的一篇论文给出了二十年来帽集大小下界的首次改进，表明对于足够大的 $n$，$\mathbb{F}_3^n$ 中总存在大小至少为 $2.218^n$ 的帽集。这是通过构造所谓的 $I(11,7)$ 容许集（admissible set）实现的。容许集是 $\{0,1,2\}^m$ 的子集，其向量的支撑集关于包含关系构成反链，且任意三个向量在某个坐标上要么恰好有一个非零，要么恰好有两个非零且取值不同。若一个容许集的大小为 $\binom mw$ 且所有向量恰好有 $w$ 个非零元素，则称其为 $I(m,w)$ 容许集。Tyrrell 的论文猜想对于所有参数都存在 $I(m,w)$ 容许集。我们解决了这一猜想，证明了存在一个 $N$，使得 $I(N,4)$ 容许集不存在。我们将 $\{0,1,2\}^m$ 中向量的类型定义为其非零系数构成的有序序列。类型为 $12$ 的向量构成一个 $I(m,2)$ 容许集，类型为 $121$ 的向量构成一个 $I(m,3)$ 容许集（感兴趣的读者可轻易验证）。遗憾的是，可以相当容易地证明不存在所有向量类型相同的 $I(6,4)$ 容许集。由此，应用 Ramsey 定理于 4-正则超图可知，存在一个 $N$ 使得 $I(N,4)$ 容许集不存在。类似的论证表明存在一个 $N'$ 使得 $I(N',N'-2)$ 容许集不存在。由于我们可以从一个 $I(m,w)$ 容许集构造出 $I(m-1,w)$ 和 $I(m-1,w-1)$ 容许集，因此除了已知形式外，仅存在有限多个 $I(m,w)$ 容许集。