微观集理想的加性

集合 $M\subset\mathbb{R}$ 是微观的(microscopic)，如果对于每个 $\varepsilon>0$，存在一列区间 $(J_n)_{n\in\omega}$ 覆盖 $M$，且对每个 $n\in\omega$ 满足 $|J_n|\leq \varepsilon^{n+1}$。我们证明存在一个微观集，它不能被序列 $(J_n)_{n\in\omega}$ 覆盖，其中 $\{n\in\omega:J_n\neq\emptyset\}$ 的下渐近密度为0。我们证明(在ZFC中)微观集理想的加性是 $\omega_1$。这解决了 G. Horbaczewska 的一个问题。最后，我们讨论该理想的一些推广的加性。