具有和不具有谱隙条件的非半单谱值的绝热定理

我们在 Banach 空间 $X$ 中为具有可能含时定义域的一般算子 $A(t): D(A(t)) \subset X \to X$ 建立了具有和不具有谱隙条件的绝热定理。我们首先证明了具有均匀和非均匀谱隙条件的绝热定理（包括一个略微扩展的高阶绝热定理）。在这些绝热定理中，所考虑的谱子集 $\sigma(t)$ 只需是紧致的——特别是，它们不必由特征值组成。随后，我们证明了针对不一定是（弱）半单特征值的无谱隙条件绝热定理：本质上，那里仅要求所考虑的谱子集 $\sigma(t) = \{ \lambda(t) \}$ 由位于边界 $\partial \sigma(A(t))$ 上的特征值 $\lambda(t)$ 组成，并且存在将 $A(t)$ 约化的投影 $P(t)$，使得对于几乎每个 $t$，$A(t)|_{P(t)D(A(t))}-\lambda(t)$ 是幂零的，且 $A(t)|_{(1-P(t))D(A(t))}-\lambda(t)$ 在 $(1-P(t))X$ 中是单射且具有稠密值域。在所有这些定理中，对 $t \mapsto A(t)$、$\sigma(t)$、$P(t)$ 施加的正则性条件相当温和。我们通过众多实例探讨了所提出的绝热定理的效力。最后，我们将含时定义域的绝热定理应用于由对称双线性形式定义的算子 $A(t)$，从而以一种非常简洁的方式获得了相应的绝热定理。