频率过零时谐振子能量的绝热放大

我们研究谐振子的能量演化，当其频率随时间缓慢变化并经过零值时。我们考虑了该系统的经典与量子描述。我们表明，在频率单次过零后，能量与频率之比这一著名的绝热不变量（在零频率时不成立）会重新建立，但比例系数依赖于初态。在对具有相同能量的初态相位取平均后（特别是初态为真空、Fock 态和热量子态时），对初态的依赖性消失。此时，平均比例系数总是大于 1。平均比例系数的具体值取决于频率对时间依赖关系在零点附近的幂指数。特别地，若频率线性趋于零，平均能量变为三倍。若频率多次达到零，绝热比例系数强烈依赖于零值点之间的时间间隔长度，使得经过多次过零后平均能量行为呈现准随机性。原始的 Born-Fock 定理在频率过零后不再适用。然而，我们找到了其推广形式：初态 Fock 态变为多个 Fock 态的宽泛叠加，在新绝热 regime 下其权重不随时间改变。当平均能量变为三倍时，初态第 N 个 Fock 态大致变为 6N 个态的非均匀叠加。初态真空和低阶 Fock 态被压缩，低平均能量值的初态热态亦然。