双射的加性三元组，或环面半皇后问题

我们证明了从 $\{1,\dots,n\}$ 到 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的双射的加性三元组数量的渐近式，即证明了满足逐点之和 $\pi_1+\pi_2$ 也是双射的双射对 $\pi_1,\pi_2\colon \{1,\dots,n\}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的数量的渐近式。该问题等价于计数 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的正形映射或完全映射的数量，等价于计数在 $n\times n$ 环面棋盘上相互不攻击的 $n$ 个半皇后的布置数量，也等价于计数循环拉丁方中的横截数。证明方法是解析数论中的 Hardy--Littlewood 圆法的一个版本，适配于群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^n$。