在二进制码中实现任意局部性与可用性

如果一个 $(n,k)$ 码的第 $i$ 个坐标存在 $t$ 个不相交的组，每组包含至多 $r$ 个其他坐标且能共同恢复第 $i$ 个坐标的值，则称该坐标具有局部性 $r$ 和可用性 $t$。这一性质对于分布式存储系统的码尤其有用，因为它允许局部修复和对热点数据的并行访问。在本文中，对于任意正整数 $r$ 和 $t$，我们构造了一个长度为 $\binom{r+t}{t}$ 的二元线性码，其所有坐标均具有局部性 $r$ 和可用性 $t$。该码的信息率达到 $\frac{r}{r+t}$，始终高于直积码的信息率，而直积码是此前已知唯一能实现任意局部性和可用性的构造。