递归函数的近似度组成

确定布尔函数的近似度组成仍是布尔函数复杂度中的一个尚未解决的重要问题。近些年来，研究者们集中注意力证明近似度在特定类型的内部和外部函数上进行组成。一个重要且被广泛研究的函数类是递归函数，即由对基础函数进行若干次组成得到的函数。设 $h^d$ 表示基础函数 $h$ 的标准 $d$ 次组成。本文的主要结果表明，如果满足以下条件之一，近似度即可组成：(I) 外部函数 $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ 是形如 $h^d$ 的递归函数，其中 $h$ 为任意基础函数且 $d= \Omega(\log\log n)$。(II) 内部函数是形如 $h^d$ 的递归函数，其中 $h$ 为任意常数仪函数（除 AND 和 OR 之外）且 $d= \Omega(\log\log n)$，其中 $n$ 为外部函数的仪数。就证明技术而言，我们首先观察到，通过在内部和外部函数之间引入多数函数，可获得组成的下界。随后我们证明，如果内部或外部函数是递归函数，多数函数即可被\emph{有效消除}。