精度直接控制的通用 ${\cal H}^2$-矩阵快速直接解法及其在电大尺寸积分方程电磁分析中的应用

基于积分方程求解麦克斯韦方程组所产生的稠密矩阵可由 ${\cal H}^2$-矩阵紧凑表示。对于给定的通用稠密 ${\cal H}^2$-矩阵，现有的快速直接解法涉及精度只能间接控制的近似。本工作中，我们提出了新的精度受控的直接求解算法（包括分解和求逆），用于求解通用 ${\cal H}^2$-矩阵，这在本文之前尚不存在。与现有直接解法在求解过程中保持簇基不变从而缺乏显式精度控制不同，所提出的新算法基于预设精度逐层更新簇基及其秩，而不增加计算复杂度。同时逐层引入零元，使得每个树层计算的矩阵块大小即为该层的秩，因此尺寸很小。所提出的新直接解法已应用于求解电大尺寸体积分方程，其秩随电尺寸线性增长。理论上证明并数值上展示了分解和求逆时间的 $O(N\log N)$ 复杂度，以及存储和求解时间的 $O(N)$ 复杂度。对于常数秩情形，所提出的直接解法在时间和内存上均具有严格的 $O(N)$ 复杂度。在单个 CPU 核心上即可获得数百万未知数的快速直接解，且精度直接受控。