网络矩阵的快速直接求解器

本文给出了一种快速直接求逆方案，用于求解二维椭圆偏微分方程离散化所产生的大型稀疏线性方程组。该方案针对均匀正方形网格上的离散化情况进行了描述，但可推广至更一般的几何形状。对于包含 $N$ 个点的网格，该方案需要 $O(N \log^{2}N)$ 次算术运算和 $O(N \log N)$ 的存储量来计算近似逆矩阵。如果仅需单次求解，则该方案仅需 $O(\sqrt{N} \log N)$ 的存储量；相同的存储量也足以计算 Dirichlet-to-Neumann 算子以及其他边界到边界算子。文中通过若干数值示例说明了该方案。例如，在一台 2.8GHz P4 台式 PC 上，一个大小为 $10^6 \times 10^6$ 的矩阵在四分钟内被求逆至七位精度。