利用结构化模型矩阵与二维快速傅里叶变换的大规模重力与磁数据聚焦反演快速方法

讨论了从均匀网格上的地表测量数据恢复稀疏地下结构的位场数据聚焦反演。对于均匀网格，模型灵敏度矩阵呈现块托普利兹托普利兹块结构，按地下各深度层分块。然后，通过嵌入循环矩阵，所有涉及灵敏度矩阵或其转置的正向运算均使用二维快速傅里叶变换实现。仿真表明，该快速反演算法可在标准台式计算机上实现，并具备足够内存以存储高达 $n \approx 1M$ 大小的体积数据。聚焦反演算法中出现的线性方程组使用 Golub Kahan 双对角化或随机奇异值分解算法求解，其中所有涉及灵敏度矩阵的矩阵运算均通过快速傅里叶变换实现。针对大规模问题，就所采用投影子空间大小而言，对比了这两种算法的效率。所得结果证实了早前研究：随机算法更适用于重力数据反演，且对于大小为 $m$ 的数据集，使用约 $m/8$ 的投影空间已足够。相比之下，Golub Kahan 双对角化在磁数据集反演中效率更高，同样使用约 $m/8$ 的投影空间即可。此外，当 $m$ 较大（$m \approx 50000$）时，使用 $m/20$ 的投影空间已足以重建 $n \approx 1M$ 的体积。仿真支持了上述结论，并在加拿大马尼托巴省 Wuskwatim 湖区域获得的实用磁数据集反演上得到验证。