用于复频率 Helmholtz 问题的变阶定向 H2 矩阵

高频 Helmholtz 型积分算子的稀疏逼近具有许多重要的物理应用，例如波传播与波散射问题。离散系统矩阵庞大且稠密填充；因此其稀疏逼近极为重要。在本文中，我们将定向 $\mathcal{H}^{2}$-矩阵技术从“纯”Helmholtz 算子 $\mathcal{L}u=-\Delta u+\zeta^{2}u$（其中 $\zeta=-\operatorname*{i}k$，$k\in\mathbb{R}$）推广到一般复频率 $\zeta\in\mathbb{C}$ 且 $\operatorname{Re}\zeta>0$ 的情形。此时基本解对大自变量呈指数衰减。我们将发展一种新的适应性条件，其显式包含 $\operatorname{Re}\zeta$，并引入在适应性块上用依赖于频率的定向展开函数逼近积分核函数。我们给出了关于展开阶数以及 $\operatorname{Re}\zeta$ 和 $\operatorname{Im}\zeta$ 均显式的误差分析。这允许以准最优方式选择依赖于 $\operatorname{Re}\zeta$ 但独立于可能很大的 $\operatorname{Im}\zeta$ 的变阶展开阶数。复杂度分析对 $\operatorname{Re}\zeta$ 和 $\operatorname{Im}\zeta$ 显式，并表明更高的 $\operatorname{Re}\zeta$ 值如何降低复杂度。在某些情况下，甚至发现离散矩阵可由其近场部分替代。数值实验说明了所推导估计的尖锐性与我们稀疏逼近的效率。