基于算子傅里叶变换函数微积分的非均匀介质 Helmholtz 方程直接求解器

本文提出了一种基于伪微分算子（pseudodifferential operators, ΨDO）的新型数值算法，用于在1D、2D和3D非均匀无界介质中快速、直接求解 Helmholtz 方程。该方法依赖于伪微分算子（ΨDO）的算子傅里叶变换（OFT）表示，将计算逆 Helmholtz 算子（具有空间依赖波速）的问题表述为两个逆平方根 ΨDO 的顺序应用。OFT 表示的逆平方根 ΨDO 作用，可作为伪时间初值-边界值问题中抛物线方程解的叠加实现。OFT 框架相对于传统的直接和迭代 Helmholtz 方程求解方法具有多个优势。算子积分变换适用于标准数值积分方法，所需的伪时间抛物线方程解可使用任何合适的数值方法获得。派生出一种专门的积分格式，用于高效求值 OFT，并结合标准有限差分方法使用的交替方向隐式方法用于求解必需的组件抛物线方程问题。数值研究在1D、2D和3D中展示了预期的 OFT 基于 Helmholtz 求解器的收敛率。此外，展示了我们方法的效率和通用性，通过解决包括二维平面波从几何复杂不均匀性散射、三维湍流通道散射以及平面波通过球对称梯度指数 Luneburg 透镜等非平凡波传播问题。所有计算（涉及解决超过10亿个复杂未知数的 3D 问题）均在单个工作站上完成。