基于簇基变换的线性复杂度精度可控保结构 ${\cal H}^2$ 矩阵-矩阵乘积

${\cal H}^2$-矩阵构成了基于偏微分方程和积分方程的算子高效计算的通用数学框架。现有的线性复杂度 ${\cal H}^2$ 矩阵-矩阵乘积(MMP)算法缺乏显式的精度控制,而在不牺牲线性复杂度的前提下控制精度是具有挑战性的。本文通过基于给定精度在矩阵乘积计算过程中即时改变簇基,发展了精度可控的 ${\cal H}^2$ 矩阵-矩阵乘积算法。同时,我们将整体算法的计算复杂度保持为线性。与现有使用原始簇基执行格式化乘法的 ${\cal H}^2$ 矩阵-矩阵乘积算法不同,在所提算法中,所有加法和乘法要么是精确的,要么是基于给定精度计算的。此外,原始的 ${\cal H}^2$-矩阵结构在矩阵乘积中得以保留。该算法对常秩矩阵实现了最优复杂度,对变秩 ${\cal H}^2$-矩阵的计算复杂度也达到最小。所提工作可作为大规模电磁分析快速求解器开发中的基础运算。在单核上涉及数百万未知量的大规模电容提取与电磁散射问题上的应用,已证明了所提算法的精度与效率。