有限域上给定阶的阿贝尔簇

给定素数幂 $q$ 与 $n \gg 1$，我们证明 Hasse--Weil 区间 $[(\sqrt{q}-1)^{2n},(\sqrt{q}+1)^{2n}]$ 的一个大子区间中的每一个整数都是某个 $\mathbb{F}_q$ 上维数为 $n$ 的几何单、通常、主极化阿贝尔簇 $A$ 的 #A(\mathbb{F}_q)。作为推论，我们将 Howe 与 Kedlaya 关于 $\mathbb{F}_2$ 的结果推广，表明对每个素数幂 $q$，每个充分大的正整数都是可实现的，即某个 $\mathbb{F}_q$ 上阿贝尔簇 $A$ 的 #A(\mathbb{F}_q)。我们的结果还改进了已知的、点计数接近 Hasse--Weil 区间端点的单阿贝尔簇序列的最佳构造。一个独立的论证在固定 $n$ 时，确定了由可实现的整数构成的 Hasse--Weil 区间的最大子区间（当 $q \to \infty$ 时的渐近情形）；这给出了 DiPippo 与 Howe 在 1998 年定理的一个渐近最优改进。我们的方法是有效的：我们证明若 $q \le 5$，则每个正整数都是可实现的；而对任意 $q$，每个 $\ge q^{3 \sqrt{q} \log q}$ 的正整数都是可实现的。