Lévy噪声线性变换的零一律

$\mathbb{R}^d$上的Lévy噪声对每个具有有限Lebesgue测度的Borel子集$B \subset \mathbb{R}^d$赋予一个随机实数“质量”$\Pi(B)$。$\Pi(B)$的分布仅依赖于$B$的Lebesgue测度，且若$B_1, ..., B_n$是有限个两两不交的集合，则随机变量$\Pi(B_1), ..., \Pi(B_n)$相互独立，且$\Pi(B_1 \cup ... \cup B_n) = \Pi(B_1) + ... + \Pi(B_n)$几乎必然成立。特别地，当$g$是$\mathbb{R}^d$上保持Lebesgue测度的双射变换时，$\Pi \circ g$与$\Pi$同分布。由Hewitt–Savage零一律可知，任何在映射$\Pi \mapsto \Pi \circ g$（对$\mathbb{R}^d$上所有保持Lebesgue测度的双射$g$）下几乎必然不变的事件，其概率必为0或1。我们研究某些更小的保持Lebesgue测度的双射群是否也具有此性质。我们证明：若$d \ge 2$，Lévy噪声非纯确定性的，且该群由线性变换构成且是闭的，则不变事件概率全为0或1当且仅当该群不是紧致的。