自由世界中的偏差与除法

抽样偏差是统计学中的一个基本概念；相关的偏差变换，如规模偏差，近来在概率论中扮演了重要角色。第一作者与G. Reinert引入了零偏差，这是一种其唯一不动点是正态分布的变换；它已成为Stein方法和高斯逼近中的标准工具。最近，零偏差与无限可分分布类之间的联系已被发现。在本文中，我们发展了零偏差变换的自由概率类比，证明了其存在性和正则性。自由零偏差以半圆律（自由概率的中心极限分布）为其唯一不动点。我们提供了一种自由零偏差的构造方法，该方法镜像了将平方偏差与光滑化子结合的经典构造，并在此过程中通过其柯西变换发展了一类令人惊讶的新分布运算。然后，我们探索了自由零偏差和大小偏差与自由无限可分分布类之间的联系。我们对该主题进行了新的自包含处理，并利用偏差变换给出了自由无限可分性的新刻画。我们还对正自由无限可分分布进行了平行处理，这类分布也可以通过一种没有已知经典类比的新型Lévy-Khintchine公式来刻画，并利用这一点给出了此类分布的若干新描述，并利用这些偏差方法提供了新的例子。