关于 $\displaystyle{\sum_{z\in\mathbb{Z}_n[i]} z^k }$ 的 von Staudt 型公式

本文研究了高斯整数中的幂和 $\mathbf{G}_k(n):=\sum_{a,b \in [1,n]} (a+b i)^k$。我们给出了 $\mathbf{G}_k(n) \pmod n$ 的一个显式公式，该公式用满足 $p \equiv 3 \pmod 4$ 且 $p \mid \mid n$ 以及 $p-1 \mid k$ 的素数 $p$ 表示，类似于 von Staudt 关于 $\sum_{i=1}^n i^k \pmod n$ 的著名公式。我们应用该公式研究整除 $\mathbf{G}_n(n)$ 的整数 $n$ 的集合，并计算其渐近密度，精确到六位小数：$0.971000\ldots$。