广义 Motzkin 数模 $p$ 的密度与对称性

我们给出了广义 Motzkin 数列 $M^{a, b}_n$ 模素数 $p$ 时 $0$ 的密度的公式，该公式用前 $p$ 个广义中心三项式系数 $T^{a, b}_n \bmod p$（其中 $n < p$）来表示。我们将方法应用于其他各种序列，得到了类似的公式。我们还证明了 $T^{a, b}_{p-1-n} \equiv (b^2-4a^2)^{\frac{p-1}{2}-n} T^{a, b}_n \pmod p$，从而获得了序列中 $0$ 的密度的紧下界。前 $p$ 个中心三项式系数模 $p$ 的这种对称性也出现在其他若干应用中，包括证明广义 Motzkin 数的一个新颖对称性，该对称性具有独立的研究价值：$M^{a, b}_{p-3-n} \equiv (b^2-4a^2)^{\frac{p-3}{2}-n} M^{a, b}_n \pmod p$。