极小曲面极小极大理论中的粘性方法
微分几何
2017-10-30 v4 偏微分方程分析
摘要
我们使用惩罚论证提出了面积临界点的极小极大构造。具体而言，对于闭曲面到给定闭流形的任意浸入，我们在面积拉格朗日量中添加一项，该项等于浸入的第二基本形式的范数乘以一个“粘性”参数。对于，面积泛函的这种松弛满足Palais-Smale条件。这允许使用经典的极小极大论证（如山路引理）来构造松弛拉格朗日量的临界点。本工作的目标是描述当“粘性”参数趋于零时向极限的过渡。在某些自然熵条件下，我们建立了这些临界点向实现极小极大值的参数化整数稳态varifold的varifold收敛。在最近与A.Pigati合作的一项工作中证明了，参数化整数稳态varifold完全由光滑映射给出。作为推论，我们得出每个曲面面积极小极大值都由光滑的可能分支的极小浸入实现。
引用
@article{arxiv.1508.07141,
title = {A Viscosity Method in the Min-max Theory of Minimal Surfaces},
author = {Tristan Rivière},
journal= {arXiv preprint arXiv:1508.07141},
year = {2017}
}