将李代数生成元表示为 Weyl 代数中系数形式幂级数的一个普适公式

给定域 $k \supset \mathbb Q$ 上的 $n$ 维李代数 $g$ 及其向量空间基 $X^0_1,..., X^0_n$,我们给出一个仅依赖于结构常数的公式,将无穷小生成元 $X_i = X^0_i t$(属于 $g\otimes_k k [[t]]$,其中 $t$ 为形式变量)表示为 $t$ 在 Weyl 代数 $A_n$ 中取值的形式幂级数。实际上,该定理对任意环 $k\supset Q$ 上的李代数也成立。我们提供了三种不同的证明,每一种都有望对推广有用。第一种证明通过对张量直接计算得到,其中涉及若干关于结构常数的有趣组合公式;计算的最后一步是一个包含 Bernoulli 数与 $\coth(x/2)$ 任意导数的新公式,并计算了某些张量空间的维数。第二种证明方法是几何的,可归约为在特定坐标下形式右不变向量场的计算,属于形式群概型理论的一个(新)变体。第三种证明使用余导子与 Hopf 代数。