Kingman 单纯形中无限维扩散的双参数族

本文旨在引入与 Pitman 双参数 Poisson-Dirichlet 分布 $PD(\alpha,\theta)$ 相关的无限维扩散过程 $X(\alpha,\theta)$ 的双参数族。扩散过程 $X(\alpha,\theta)$ 是通过某些自然数划分上的有限马尔可夫链的缩放极限过渡获得的。$X(\alpha,\theta)$ 的状态空间是一个称为 Kingman 单纯形的无限维单纯形。在参数 $\alpha$ 为零的特殊情况下，我们的有限马尔可夫链类似于群体遗传学中的 Moran 型模型，且我们的扩散过程退化为 Ethier 和 Kurtz (1981) 研究的无限多中性等位基因扩散模型。我们的主要结果将 Ethier 和 Kurtz 的结果推广到了双参数情形，具体如下：Poisson-Dirichlet 分布 $PD(\alpha,\theta)$ 是相应过程 $X(\alpha,\theta)$ 的唯一平稳分布；该过程是遍历且可逆的；其生成元的谱被显式描述。一般双参数情形似乎超出了群体遗传学模型的设定范围，且我们的方法在某些方面不同于 Ethier 和 Kurtz 的方法。我们还考虑了参数 $\alpha$ 和 $\theta$ 的退化级数情形，并得出结论：Ethier 和 Kurtz (1981) 研究的有限维单纯形中的扩散作为我们双参数扩散族的特例出现。