层次 Poincaré-Steklov 方法的两级直接求解器

我们介绍了用于求解线性椭圆 PDE 的层次 Poincaré-Steklov (HPS) 方法的两级直接求解器。HPS 将多域谱 collocation 与直接求解器结合起来，实现了对高度振荡解的高阶离散化，同时保持计算效率。我们的方法采用带 GPU 加速的批量线性代数例程，将问题缩减到子域界面，从而得到块稀疏线性系统。该系统随后使用采用枢轴的稀疏直接求解器进行分解，以实现比原始 HPS 方案更好的数值稳定性。对于局部阶数为 $p$、总自由度为 $N$ 的离散化，初始化简步骤的渐近复杂度为三维空间中的 $O(N p^6)$。尽管如此，批量 GPU 例程的高效性使得实际成本对于实际目的而言与多项式阶数无关（对于 $p=20$ 或更高）。此外，稀疏直接求解器的成本也与多项式阶数无关。我们提供了方法的描述与论证，并通过三维问题的数值实验来评估其准确性和性能。