具有非齐次边界条件的图像复原全分数阶变分模型及其数值解

为克服基于全变分的图像复原模型的弱点，近来提出并研究了各种高阶（典型为二阶）正则化模型。在本文中，我们分析并测试了一个基于分数阶导数的全 $\alpha$ 阶变分模型，其可胜过当前流行的高阶正则化模型。先前存在若干使用全 $\alpha$ 阶变分进行图像复原的工作；然而首先尚无分析，其次所有测试的彼此相异的公式采用零狄利克雷边界条件，这不现实（而非零边界条件违背分数阶导数的定义）。本文首先回顾分数阶导数的一些结果，然后严格分析所提出的全 $\alpha$ 阶变分模型的理论性质。随后开发了四种求解该变分问题的算法，一种基于变分Split-Bregman思想，三种基于离散-优化问题的直接求解。数值实验表明，在复原质量与求解效率方面，对于平滑图像，所提模型相对于两种已确立的高阶模型——平均曲率与全广义变分——能产生极具竞争力的结果。