一种用于双重求和的伸缩法

我们提出一种证明超几何双重求和恒等式的方法。给定一个超几何项 $F(n,i,j)$，我们旨在找到一个差分算子 $L=a_0(n) N^0 + a_1(n) N^1 +...+a_r(n) N^r$ 以及有理函数 $R_1(n,i,j),R_2(n,i,j)$，使得 $L F = \Delta_i (R_1 F) + \Delta_j (R_2 F)$。基于简单的可除性考虑，我们证明 $R_1$ 和 $R_2$ 的分母必然具有某些可从 $F(n, i,j)$ 计算出的因子。利用这些因子作为估计，我们可以通过猜测次数的上界并求解线性方程组来求出 $R_1$ 和 $R_2$ 的分子。我们的方法对 Andrews-Paule 恒等式、Carlitz 恒等式、Apéry-Schmidt-Strehl 恒等式、Graham-Knuth-Patashnik 恒等式以及 Petkovšek-Wilf-Zeilberger 恒等式均有效。