Jacobian 猜想的 Tate 代数版本

本文研究了配备 $I$-adic 拓扑的交换环 $R$ 上 Jacobian 猜想的 Tate 代数版本，称之为 Tate-Jacobian 猜想。我们证明，如果 $R$ 上的 $I$-adic 拓扑是 Hausdorff 的，且 $R/I$ 是 $\mathbb{Q}$-代数的子环，则 Tate-Jacobian 猜想等价于 Jacobian 猜想。反之，如果 $R/I$ 具有正特征，则 Tate-Jacobian 猜想不成立。此外，我们证明了 $\mathbb{C}$ 上的 Jacobian 猜想等价于以下陈述：对于除有限个素数外的所有素数 $p$，其 Jacobian 行列式属于 $\mathbb{C}_p^\times$ 的 $\mathbb{C}_p$ 上多项式映射的逆映射属于 $\mathbb{C}_p$ 上的 Tate 代数。