奇异投影方法有效性的一个惊人阈值

给定一个嵌入到 $\mathbb{R}^{\nu}$ 中的紧流形 $\mathcal{N}$ 以及一个投影 $P$，它将 $\mathbb{R}^{\nu}$ 收缩到 $\mathcal{N}$，仅除去一个余维数为 $\ell$ 的奇异集，我们研究了参数 $s$ 和 $p$ 的最大范围，使得投影 $P$ 能够将一个 $\mathbb{R}^{\nu}$ 取值的 $W^{s,p}$ 映射转化为一个 $\mathcal{N}$ 取值的 $W^{s,p}$ 映射。由 Hardt 和 Lin 提出并源于 Federer 和 Fleming 工作的投影方法，已知在 $W^{1,p}$ 中当且仅当 $p < \ell$ 时适用，并已在某些特殊情况下推广到更一般的正则性参数 $s$。作为第一个结果，我们证明了在全 generality 下，当 $s \geq 1$ 时，投影方法可在整个预期范围 $sp < \ell$ 内应用。当 $0 < s < 1$ 时，投影方法仅在 $p < \ell$（比 $sp < \ell$ 更严格的条件）下已知适用。作为第二个结果，我们以某种令人惊讶的方式证明了条件 $p < \ell$ 是最优的：对任意 $0 < s < 1$ 和 $p \geq \ell$，我们构造了一个从 $\mathbb{R}^{\ell}$ 出发的有界 $W^{s,p}$ 映射，其到球面 $\mathbb{S}^{\ell-1}$ 的所有奇异投影均不属于 $W^{s,p}$。作为我们方法的副产品，对于由 Hajłasz 提出的密切相关的几乎收缩方法，我们也获得了类似结论，并进一步证明了当 $0 < s < 1$ 时其适用性的更严格阈值。