关于模p受限交集集系统的Alon-Babai-Suzuki猜想的一个加强不等式

设 $K=\{k_1,k_2,\ldots,k_r\}$ 和 $L=\{l_1,l_2,\ldots,l_s\}$ 为 $\{0,1,\ldots,p-1\}$ 的不相交子集，其中 $p$ 为素数，且 $A=\{A_1,A_2,\ldots,A_m\}$ 为 $[n]$ 的子集族，满足对所有 $A_i\in A$ 有 $|A_i|\pmod{p}\in K$，且对 $i\ne j$ 有 $|A_i\cap A_j|\pmod{p}\in L$。1991年，Alon、Babai和Suzuki猜想，若 $n\geq s+\max_{1\leq i\leq r} k_i$，则 $|A|\leq {n\choose s}+{n\choose s-1}+\cdots+{n\choose s-r+1}$。2000年，Qian和Ray-Chaudhuri在 $n\geq 2s-r$ 的条件下证明该猜想。2015年，Hwang和Kim验证了Alon、Babai和Suzuki的猜想。在本文中，我们将证明若 $n\geq 2s-2r+1$ 或 $n\geq s+\max_{1\leq i\leq r}k_i$，则 $$|A|\leq{n-1\choose s}+{n-1\choose s-1}+\cdots+{n-1\choose s-2r+1}.$$ 当 $n\geq 2s-2$ 时，此结果加强了Alon、Babai和Suzuki猜想的上界。