强耦合下格点 Yang--Mills 理论的随机分析途径

我们为任意维数 $d>1$ 下强耦合的格点 Yang--Mills 模型开发了一种新的随机分析途径，其中逆耦合强度采用 't Hooft 标度 $\beta N$。我们研究了其 Langevin 动力学、遍历性、泛函不等式、大 $N$ 极限和质量间隙。假设对于结构群 $SO(N)$ 有 $|\beta| < \frac{N-2}{32(d-1)N}$，或对于 $SU(N)$ 有 $|\beta| < \frac{1}{16(d-1)}$，我们证明了以下结果。相应 Langevin 动力学在整个格点上的不变测度是唯一的，且该动力学在 Wasserstein 距离下是指数遍历的。有限体积 Yang--Mills 测度在热力学极限下收敛于这一唯一的不变测度，该测度满足 Log-Sobolev 不等式和 Poincaré 不等式。这些泛函不等式意味着，对于无穷体积测度，适当重标度的 Wilson 圈具有因式分解的相关性，并在大 $N$ 极限下依概率收敛于确定性极限；而且一大类可观测量的相关性呈指数衰减，即无穷体积测度具有严格正的质量间隙。我们的方法改进了早期结果或简化了证明，并为格点 Yang--Mills 模型的研究提供了一些新视角。