带协变量的稀疏 $p_0$ 有向网络模型

本文关注带协变量的稀疏 $p_0$ 有向网络模型中的无约束极大似然估计。该模型具有密度参数 $\nu$、一个 $2n$ 维节点参数 $\bs{\eta}$ 以及一个固定维数的协变量回归系数 $\bs{\gamma}$。以往研究集中于受限似然推断。当节点数 $n$ 趋于无穷时，我们推导了极大似然估计量 (MLE) $(\widehat{\bs{\eta}}, \widehat{\bs{\gamma}})$ 与其真值 $(\bs{\eta}, \bs{\gamma})$ 之间的 $\ell_\infty$ 误差。对于 $\widehat{\bs{\eta}}$ 为 $O_p( (\log n/n)^{1/2} )$，对于 $\widehat{\bs{\gamma}}$ 为 $O_p( \log n/n)$，直至一个附加因子。这解释了 \cite{Yan-Jiang-Fienberg-Leng2018} 中 $\widehat{\bs{\gamma}}$ 渐近正态性里的渐近偏倚现象。进一步，我们推导了 MLE 的渐近正态性。数值研究与数据分析验证了我们的理论发现。