高维 Logistic 模型中 MLE 的渐近分布：任意协方差

我们研究了高维 logistic 模型中最大似然估计（MLE）的分布，将 Sur（2019）的近期结果推广到高斯协变量可能具有任意协方差结构的情况。我们证明，在大规模问题极限下保持协变量个数 $p$ 与样本量 $n$ 之比恒定，任意有限个 MLE 坐标均服从多元正态分布。具体地，MLE 的第 $j$ 个坐标 $\hat {\beta}_j$ 渐近服从正态分布，其均值为 $\alpha_\star \beta_j$，标准差为 $\sigma_\star/\tau_j$；其中 $\beta_j$ 为真回归系数值，$\tau_j$ 为在第 $j$ 个预测变量给定其余所有变量时的条件标准差。数值参数 $\alpha_\star > 1$ 与 $\sigma_\star$ 仅依赖于问题维度 $p/n$ 与总体信号强度，且可被准确估计。我们的结果表明，MLE 的幅度存在向上的偏倚，且 MLE 的标准差大于经典理论所预测者。我们给出了一系列在模拟与真实数据上的实验，显示出与理论的高度吻合。