旋度算子的 Sobolev 型不等式及具临界 Sobolev 指数的 curl-curl 方程的基态

设 $\Omega\subset \mathbb{R}^3$ 为 Lipschitz 区域，令 $S_\mathrm{curl}(\Omega)$ 为最大的常数，使得对任意 $u\in W_0^6(\mathrm{curl};\Omega)\subset W_0^6(\mathrm{curl};\mathbb{R}^3)$，有 $$\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla\times u|^2\, dx\geq S_{\mathrm{curl}}(\Omega) \inf_{\substack{w\in W_0^6(\mathrm{curl};\mathbb{R}^3)\\ \nabla\times w=0}}\Big(\int_{\mathbb{R}^3}|u+w|^6\,dx\Big)^{\frac13}$$ 其中 $W_0^6(\mathrm{curl};\Omega)$ 是 $\mathcal{C}_0^{\infty}(\Omega,\mathbb{R}^3)$ 在 $\{u\in L^6(\Omega,\mathbb{R}^3): \nabla\times u\in L^2(\Omega,\mathbb{R}^3)\}$ 中关于范数 $(|u|_6^2+|\nabla\times u|_2^2)^{1/2}$ 的闭包。我们证明 $S_{\mathrm{curl}}(\Omega)$ 严格大于 $\mathbb{R}^3$ 中的经典 Sobolev 常数 $S$。此外，$S_{\mathrm{curl}}(\Omega)$ 与 $\Omega$ 无关，且当 $\Omega=\mathbb{R}^3$ 时由 curl-curl 问题 $$\nabla\times (\nabla\times u) = |u|^4u$$ 的基态解达到。借助这些结果，我们还研究了有界区域 $\Omega$ 中 curl-curl 算子的 Brezis-Nirenberg 型问题的基态 $$\nabla\times (\nabla\times u) +\lambda u = |u|^4u\quad\hbox{in }\Omega$$ 并带有所谓的金属边界条件 $\nu\times u=0$ 于 $\partial\Omega$ 上，其中 $\nu$ 为 $\partial\Omega$ 的外法向。