最优分支单指数理论：Murray 定律、Gilbert 网络与 Young--Herring 节点
摘要
Murray 型通量-半径定律、Gilbert 型凹形传输成本及 Young--Herring 三向节点角度平衡通常被视为独立理论。本工作表明，在一种自然的二次型、无量级指数的分支网络账本类中，这三者都是单一结构的不同面貌，由一个无量级指数 chi 控制。每条边携带通量 Q、有效半径 r，及每个长度账本 P(Q,r) 编码传输耗散与结构负担。在局域性、Q 分布均匀、线性响应(二次)依赖及对 (Q,r) 的精确齐次假设下，任意合法账本在无量级 regime 下化简为两项形式 P(Q,r) = a Q^2 r^{-p} + b r^m。局部最优性随之同时暗示：(i) 以广义 Murray 闭合条件实现的通量-半径幂律；(ii) 以半径权重 r^m 和固定对称 Y 型节点角度的 Young--Herring 型向量平衡；(iii) 以指数 beta 的 Gilbert/分支传输类型有效仅通量成本。指数 alpha 与 beta、对称角度以及传输与结构成本的划分，均由 chi = m/(m+p) = beta/2 决定。一个刚性定理表明，反过来，任何产生幂律最优半径且在开放比例锥上产生幂律仅通量成本的二次账本，都必须属于该两项形式并遵循相同的 Murray-Gilbert-Young 词典。针对 Poiseuille、扩散及地质树的例子说明，chi 可从几何量推导，并可作为无量级分支结构的可检验排序参数。
引用
@article{arxiv.2511.19915,
title = {A Single--Index Theory of Optimal Branching: Murray Laws, Gilbert Networks, and Young--Herring Junctions},
author = {Justin Bennett},
journal= {arXiv preprint arXiv:2511.19915},
year = {2025}
}
备注
53 pages. Conceptual and mathematical development of a single-index (chi) framework unifying Murray laws, Gilbert-type concave network costs, and Young-Herring junction balances. Builds on the EPIC formulation introduced in arXiv:2511.04022