Kaijser 关于隐马尔可夫 $\alpha$-链唯一遍历性结论的一个简单证明

根据 T. Kaijser 1975 年的结果,若隐马尔可夫模型(HMM)步进矩阵的某个非零乘积是次矩形式的,且底层链是非周期的,则相应的 $\alpha$-链具有唯一的不变极限测度 $\lambda$。此处 $\alpha$-链 $\{\alpha_n\}=\{(\alpha_{ni})\}$ 由 $\alpha_{ni}=P(X_n=i| Y_n,Y_{n-1},...)$ 给出,其中 $\{(X_n,Y_n)\}$ 是一个有限状态 HMM,其含未观测的马尔可夫链分量 $\{X_n\}$ 与已观测的输出分量 $\{Y_n\}$。这将 $\{\alpha_n\}$ 定义为取值于概率单纯形中的随机过程。易见 $\{\alpha_n\}$ 自身也是一个马尔可夫链。步进矩阵 $M(y)=(M(y)_{ij})$ 给出了在条件 $X_{n-1}=i$ 下 $(X_n,Y_n)=(j,y)$ 的概率。若一个矩阵其非零元的位置构成行指标集与列指标集的笛卡尔积,则称其为次矩形式的。Kaijser 的结论基于将 Furstenberg--Kesten 理论应用于随机矩阵乘积 $M(Y_1)M(Y_2)... M(Y_n)$。本文利用 e 链理论,以一个更简单的论证证明了比 Kaijser 定理稍强的形式。