一种计算最近奇异铅笔的黎曼优化方法

给定方阵铅笔 $A+ \lambda B$，其中 $A$ 和 $B$ 是 $n\times n$ 复（相应为实）矩阵，我们考虑在 Frobenius 距离下寻找离它最近的奇异复（相应为实）铅笔的问题。该问题已知非常困难，文献中少数可用算法只能高效处理尺寸很小的铅笔。我们证明该问题等价于在黎曼流形 $SU(n) \times SU(n)$（若寻求最近的实奇异铅笔则为 $SO(n) \times SO(n)$）上最小化某个目标函数 $f$，其中 $SU(n)$ 表示特殊酉群（相应为 $SO(n)$ 表示特殊正交群）。这一新视角基于铅笔的广义 Schur 形式，并通过将其与能够在黎曼流形上优化的算法结合，产生了有竞争力的数值方法。我们提出一种直接最小化（几乎处处但非处处可微的）函数 $f$ 的算法，以及一种平滑替代方案和第三种平滑算法，该算法也能求解具有指定极小指标的寻找最近奇异铅笔问题。我们提供的数值实验表明，所得方法使我们能处理比替代技术尺寸大得多的铅笔，产生质量相当或更好的候选极小化子。在我们的分析过程中，我们还获得了一些与（正则或奇异）方阵铅笔的广义 Schur 形式以及零度为 $1$ 的奇异方阵铅笔的极小指标相关的新的理论结果。