形状变形解与演化神经网络在时空动力学中的综述
数值分析
2026-03-23 v1 数值分析
动力系统
摘要
形状变形解（SMS）指的是偏微分方程（PDE）的一种近似解，其显著特征在于其对一组随时间变化参数的非线性依赖。它们在Galerkin截断的基础上进行了推广，允许基函数（或试函数）随时间演化，以适应PDE的解。因此，SMS特别适用于多尺度系统的简化阶模型以及高保真模拟，这些系统表现出局部时依赖特征，如涡旋、色散波包和冲击波。此外，由于是无网格的，SMS在求解高维空间维度的PDE时具有可扩展性。作为一种特殊情况，SMS允许通过其权重和偏置随时间变化的神经网络来近似PDE的解。此类神经网络称为演化神经网络或神经型Galerkin方案。SMS参数的演化由SMS方程决定，该方程是基于Dirac-Frenkel变分原理推导的一组常微分方程。过去五年来，SMS在理论和计算方面的贡献正在快速增长。本文综述了这些发展，展示了SMS的一些应用，并指出未来研究的重要开放问题。同时，本综述结构设计为面向希望进入该领域的应用数学家、物理学家和工程师的教程。
引用
@article{arxiv.2603.19526,
title = {A review of shape-morphing solutions and evolutional neural networks for spatiotemporal dynamics},
author = {Mohammad Farazmand},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.19526},
year = {2026}
}