关于高斯超平面在球面上的 tessellation 猜想的数值解

我们研究了使用具有独立标准高斯方向的超平面数目，以产生球面子集 $S$ 的 $\delta$ 均匀 tessellation 的问题，即对于 $S$ 中任意两点对，分隔它们的超平面比例对应其测地距离，误差为 $\delta$。原猜想认为，$\delta^{-2}w_*(S)^2$ 个高斯随机超平面是必要且充分的，其中 $w_*(S)$ 为 $S$ 的高斯复杂度。我们通过构造一个集合 $S$ 来否决此猜想，证明 $\delta^{-3}w_*(S)^2$ 个高斯超平面是必要且充分的。