三次环类数中的一个显著恒等式

1997年，Y. Ohno 凭经验偶然发现了一个惊人简单的恒等式，它将给定判别式 $D$ 的整数上的三次环个数 $h(D)$ 与判别式 $-27D$ 且每个元素的迹可被3整除的三次环个数 $h'(D)$ 联系起来：$h'(D) = h(D)$（若 $D < 0$），以及 $h'(D) = 3h(D)$（若 $D > 0$），其中每种情形下，环均按其自同构个数的倒数加权。这使得控制 Shintani zeta 函数（由 $h$ 和 $h'$ 的值构建的 Dirichlet 级数）解析延拓的函数方程可以写成自反形式。1998年，J. Nakagawa 验证了 Ohno 猜想。我们给出了该恒等式的一个新证明，使用了 Nakagawa 证明的主要要素（二元三次型、递归和类域论），以及 Bhargava 著名的高阶复合律之一，同时力求保持该恒等式极致的简洁优美。