Christol 定理对代数幂级数的一个精细化

Christol 的一个著名结果指出：系数取自特征为 p 的有限域 $\mathbb{F}_q$ 的幂级数 $F(t)=\sum_{n\ge 0} f(n)t^n$ 是 t 的有理函数域上的代数元，当且仅当存在一个有限状态自动机，以 n 的 p 进制数字为输入，并对每个 $n\ge 0$ 输出 $f(n)$。Kedlaya 后来给出了 Christol 定理的一个推广，完整描述了 $\mathbb{F}_q(t)$ 的代数闭包。当我们考察一个代数幂级数的支集，即满足 $f(n)\neq 0$ 的 n 的集合时，关于有限状态自动机生成集合的一个著名二分性表明：该支集要么是稀疏的——满足 $f(n)\neq 0$ 且 $n\le x$ 的 n 的个数由一个关于 $\log(x)$ 的多项式界定——要么相当大，即满足 $f(n)\neq 0$ 且 $n\le x$ 的 n 的个数增长快于 $x^{\alpha}$（对某个正数 $\alpha$）。具有稀疏支集的代数幂级数构成一个环，我们利用 Artin-Schreier 扩张给出了该环的一个纯代数刻画，并将其推广到 Kedlaya 关于广义幂级数的工作背景中。