衰减空间偏序集 $\mathcal A_q(N,M)$ 的 $Q$-多项式结构

本文旨在给出衰减空间偏序集 $\mathcal A_q(N,M)$ 的一个 $Q$-多项式结构。该偏序集 $\mathcal A_q(N,M)$ 简述如下。取一个具有 $q$ 个元素的有限域上的 $(N+M)$ 维向量空间 $H$。固定 $H$ 的一个 $M$ 维子空间 $h$。$\mathcal A_q(N,M)$ 的顶点集 $X$ 由 $H$ 中与 $h$ 交集为零的子空间构成。其偏序关系为包含关系。该 $Q$-多项式结构涉及两个矩阵 $A, A^* \in {\rm Mat}_X(\mathbb C)$，其元素定义如下：对 $y, z \in X$，矩阵 $A$ 的 $(y,z)$ 元为 $1$（若 $y$ 覆盖 $z$）；$q^{{\rm dim}\,y}$（若 $z$ 覆盖 $y$）；以及 $0$（若 $y,z$ 互不覆盖）。矩阵 $A^*$ 为对角阵，对所有 $y\in X$ 其 $(y,y)$ 元为 $q^{-{\rm dim}\,y}$。由构造，$A^*$ 有 $N+1$ 个特征子空间。由构造，$A$ 以（块）三对角方式作用于这些特征子空间。我们证明 $A$ 可对角化，具有 $2N+1$ 个特征子空间。我们证明 $A^*$ 以（块）三对角方式作用于这些特征子空间。利用此作用，我们证明 $A$ 是 $Q$-多项式的。我们证明 $A, A^*$ 满足一对称为三对角关系的关系。我们考虑由 $A, A^*$ 生成的 ${\rm Mat}_X(\mathbb C)$ 的子代数 $T$。我们证明 $A,A^*$ 在每个不可约 $T$-模上作为 Leonard 对作用。