一个偏序集层次结构

本文推广了 Abraham 与 Bonnet 的一篇论文,该文推广了著名的 Hausdorff 关于散线性序类的刻画。Abraham 与 Bonnet 给出了一个偏序集层次结构,刻画了无无限反链(缩写为 FAC,即有限反链条件)的散偏序集类。此处反链取不可比之意。我们定义了比 Abraham 与 Bonnet 更大的偏序集层次结构,以包含更广的所谓 $\kappa$-散的“散”偏序集类。这些偏序集不能嵌入任何满足如下性质的序:其任意两个大小 $< \kappa$ 的子集,一个严格小于另一个,其间均存在一元素。若一线性序有此性质且大小为 $\kappa$,称此集合为 $\qkappa$。这样的集合仅当 $\kappa^{<\kappa}=\kappa$ 时存在。具有性质“对任意 $a<b$,集合 $\{x: a<x<b\}$ 大小 $\geq \kappa$”的偏序称为弱 $\kappa$-稠密,而不含弱 $\kappa$-稠密子集的偏序称为强 $\kappa$-散。我们证明我们的层次结构包含所有强 $\kappa$-散 FAC 偏序集,且该层次结构包含于所有 FAC $\kappa$-散偏序集类中。此外,我们证明该层次结构事实上是所有 $\kappa$-良基线性序类在逆序、字典和以及 FAC 弱化下的闭包。当 $\kappa=\aleph_0$ 时,我们的层次结构与 Abraham-Bonnet 定理中的相一致。