基于多项式的方法：Carlitz 的 q-伯努利数

本文研究 q-伯努利多项式和数的 q-类比。我们引入一种新的多项式序列 ${\left(B_{n , q}(X)\right)}_{n \in \mathbb{N}_0}$，通过 Jackson 积分定义，并探讨其与 Carlitz q-伯努利多项式和数的联系。具体而言，我们证明了数 $B_{n , q}(0)$ 正好是 Carlitz q-伯努利数，并且多项式 $B_{n , q}(X)$ 是经典伯努利多项式的真正的 q-类比。这种方法利用 Jackson 积分将 Carlitz 的 q-伯努利数重新表述为经典多项式结构，为这些数的性质提供了新的见解。