从动理学理论到具有非常数熵的流体动力学的Poisson映射

动理学理论使用分布函数$f(q,p,t)$（粒子的期望相空间密度）描述稀薄单原子气体。在高Knudsen数极限下，分布函数依据无碰撞Boltzmann方程演化。流体动力学是使用仅依赖于位置和时间变量的流体动力学变量对气体的另一种描述。在无粘极限下，这些流体动力学变量依据可压缩Euler方程演化。两个系统均为非正则Hamilton系统。各自的构型空间是无限维Poisson流形，其动力学是由Hamilton泛函通过Poisson括号生成的流。我们构造了一个从分布函数空间到流体动力学变量空间的映射$\mathcal{J}_1$，它保持两空间上的Poisson括号，即一个Poisson映射。它将Boltzmann熵$f\log f$的$p$-积分映射为流体动力学熵密度。该映射属于到若干空间的Poisson映射族，这些空间将广义熵密度作为附加流体动力学变量。整个族可由依赖于一个形式参数的进一步Poisson映射的Taylor展开生成。若动理学理论的Hamilton量通过Poisson映射$\mathcal{J}_1$分解，则动理学到流体力学的精确约化是可能的。事实并非如此，但通过忽略$f$相对于其局部Maxwellian的相对熵，我们可以构造一个通过该映射分解的近似Hamilton量。所得约化Hamilton量生成可压缩Euler方程。因此我们可将可压缩Euler方程推导为动理学理论的Hamilton近似。我们还给出了从Vlasov–Poisson方程出发、具有非常数熵的可压缩Euler–Poisson方程的类似Hamilton推导。