二维流体动力学中 Onsager 涡旋的动理学理论

从 Liouville 方程出发,采用类 BBGKY 层次结构,我们导出了二维(2D)流体动力学中点涡气体的动理学方程,其中计入了二体关联与集体效应。该方程在 $1/N$ 量级上成立,其中 $N\gg 1$ 为系统中点涡的数目(我们假设其单独环量量级为 $\gamma\sim 1/N$)。它给出了对 $N\rightarrow+\infty$ 时所得二维 Euler 方程的、由颗粒性与关联效应引起的首阶修正。对于轴对称分布,该动理学方程并不向统计平衡的 Boltzmann 分布弛豫。这意味着要么(i)"碰撞"(关联)弛豫时间大于 $Nt_D$,其中 $t_D$ 为动力学时间,因此在动理学理论中必须计入三体、四体……关联;要么(ii)点涡气体是非遍历的(或混合性较差),永远不会达到统计平衡。非轴对称分布由于存在额外共振,可能在 $Nt_D$ 量级的时间尺度上向 Boltzmann 分布弛豫,但这难以从动理学理论加以证明。另一方面,二维 Euler 不稳定涡旋分布可以在仅几个动力学时间的极短时间尺度上经历"无碰撞"(无关联)剧烈弛豫过程,达到一个非 Boltzmann 型准稳态(QSS)。该 QSS 可能由 Miller-Robert-Sommeria(MRS)统计理论描述,该理论在二维流体动力学背景下,对应于 Lynden-Bell 关于恒星动力学中剧烈弛豫的统计理论。